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created: 2026-10-08
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  - 沪教版教参必修第一册·第2章
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  - 上海高考数学
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source: 沪教版教参必修第一册.md（原文件第 675–1610 行）
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# 第 2 章 等式与不等式

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## 一、本章概述

### 总体要求

数量关系是数学重要的研究对象, 相等关系与不等关系是最基本的数量关系, 而等式和不等式则是表示相应数量关系的基本工具. 等式与不等式的知识在日常生活中有着广泛的应用.

本章内容——等式与不等式, 作为初中数学向高中数学的过渡内容, 起着承上启下的作用. 同时, 本章内容又是深入学习后续高中数学内容的基础和工具, 属于高中数学预备知识板块, 对于提高学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算等素养具有基础性作用. 这是本章内容在整套教材中的基本定位. 希望学生尽快适应高中阶段的数学学习, 感悟高中阶段数学课程的特征, 循序渐进地提高数学学习能力, 为后续课程的学习打下基础.

课程标准中强调:“教学中,要根据内容的定位和教育价值,关注数学学科核心素养的培养. 要让学生逐渐养成借助直观理解概念、进行逻辑推理的思维习惯, 以及独立思考、合作交流的学习习惯, 引导学生感悟高中阶段数学课程的特征, 适应高中阶段的数学学习. ”在本章中,可以通过相等关系和不等关系的类比,提高观察、比较、归纳、概括的能力; 通过正确表示方程和不等式的解集以及建立不等式的过程, 发展数学抽象的核心素养; 通过解方程和求解不等式的过程, 理解等价转化、分类讨论、化归思想的重要作用, 落实数学运算核心素养; 通过证明不等式发展逻辑推理能力, 通过学习基本不等式理解相等与不等关系的相互转化, 树立辩证思维; 通过探究与实践活动以及数学史和数学文化的学习, 提升兴趣, 提高素养, 促进发展.

### 课时安排建议

本章的课时安排建议为 ${12} + 2$ ,总计 14 课时. 建议如下:

<table><tr><td>章节名</td><td>建议课时</td><td>具体课时分配建议</td></tr><tr><td rowspan="3">2.1 等式与不等式的性质</td><td rowspan="3">4</td><td>等式的性质与方程的解集 1 课时</td></tr><tr><td>一元二次方程的解集及根与系数的关系 1 课时</td></tr><tr><td>不等式的性质 2 课时</td></tr><tr><td rowspan="4">2.2 不等式的求解</td><td rowspan="4">5</td><td>一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 0.5 课时</td></tr><tr><td>一元二次不等式的求解 2.5 课时</td></tr><tr><td>分式不等式的求解 1 课时</td></tr><tr><td>含绝对值不等式的求解 1 课时</td></tr><tr><td rowspan="2">2.3 基本不等式及其应用</td><td rowspan="2">3</td><td>平均值不等式及其应用 2 课时</td></tr><tr><td>三角不等式 1 课时</td></tr><tr><td>复习与小结</td><td>2</td><td/></tr></table>

### 内容编排与特色

相较于课程标准的内容要求, 本教材中增加了以下内容: (1)一元二次方程根与系数的关系; (2) 分式不等式的求解; (3) 含绝对值不等式的求解; (4) 三角不等式. 增加的内容要么是“二期课改”教材中的内容,要么是为后续学习打好必要的基础. 课时与“二期课改”教材相当,难度基本持平.

在内容处理上, 本教材中以一元二次不等式的求解为基础求解其他不等式, 突出等价变形、化归思想,强调不等式之间的联系和转化；将“二期课改”教材中不等式的证明内容分散化处理, 突出比较法的思想, 对于“二期课改”教材中常用的综合法、分析法等, 不再强调其名称, 而是在整套教材的有关内容的证明或表述过程中, 作为自然的逻辑推理方式,加以展示和灵活运用.

本章内容共分为三节, 分别是 2.1 等式与不等式的性质, 2.2 不等式的求解, 2.3 基本不等式及其应用.

" 2.1 等式与不等式的性质", 首先在系统梳理等式性质的基础上, 学习方程的解集、恒等式以及一元二次方程根与系数的关系. 这是对初中相关内容的复习、巩固与提升, 由此引导学生进入高中阶段的不等式学习. 其次在建立实数大小关系的基础上, 引导学生用类比的方法, 由等式的基本性质类比得到不等式的基本性质, 并提示学生比较和思考等式性质和不等式性质之间的异同点, 由此展开对不等关系的学习.

" 2.2 不等式的求解", 首先是在复习初中所学的一元一次不等式和不等式组求解的基础上, 运用不等式的性质求解一元二次不等式; 然后以一元二次不等式的求解为基础, 将分式不等式转化为一元一次不等式、一元二次不等式或不等式组求解; 最后介绍含绝对值的不等式的求解. 其中, 不同于课程标准的内容安排, 本节教材直接从不等式性质出发来研究和处理一元二次不等式的求解, 而非借助一元二次函数来求解 (用函数的观点求解方程和不等式安排在第 5 章函数中), 从而切实加强代数教学.

“ 2.3 基本不等式及其应用”,先是在学习了不等式性质的基础上,介绍在后续学习中具有重要作用的基本不等式, 包括平均值不等式和三角不等式; 再利用这些基本不等式证明其他一些不等式以及求简单的最值, 使学生逐步掌握数学证明的一些基本思想和方法, 并树立起等价转化的辩证思维. 鉴于三角不等式在高等数学中的重要性, 并结合高中学生的实际学习能力, 本教材对三角不等式予以突出, 并安排一个课时的内容加以系统学习.

在探究与实践部分, 教材提供了由等式证明不等式方面的探索和实践活动, 旨在增进对等式和不等式相互转化的理解.

在课后阅读部分,教材引入了调和平均值的概念以及调和平均值与算术平均值不等式, 还介绍了平均值不等式在科学史上具有重要地位的迈克耳孙-莫雷实验设计中的应用. 借此强调了理论来源于实践并指导实践的思想, 突出了数学在科学研究、社会实践以及生产和生活中的作用, 以期激发兴趣, 开阔视野, 增进理解, 促进思考.

本教材按照循序渐进、由浅入深的原则选编了适量的练习、习题及复习题. 认真完成这些习题, 对于巩固基础, 熟练技能, 增进理解, 培养数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养都非常必要.

总的来说, 这样的内容安排有利于突出不等式的性质, 有利于掌握不等式等价变形的思想, 有利于数学运算、逻辑推理等数学核心素养的培养, 有利于初高中不等式内容的衔接, 有利于巩固第一章中的集合运算和表达, 有利于后续函数等内容的展开,有继承,有发展,且过渡自然、前后一贯.

### 教学提示

本章内容——等式与不等式, 既是初中数学向高中数学的过渡内容, 又是深入学习后续高中数学内容的基础和工具. 教师应针对这一特征, 从知识和技能、方法和习惯、能力和素养等方面,帮助学生尽快适应高中阶段的数学学习,引导学生感悟高中阶段数学课程的特征, 循序渐进地提高学生数学的学习能力, 逐渐养成借助直观进行逻辑推理、独立思考、合作交流等学习习惯,顺利完成初中到高中的过渡,并为后续课程的学习打下基础.

在教学中, 通过类比等式与不等式的性质, 进一步探索等式和不等式的共性与差异；增强语言过渡,逐步由自然语言、图形语言向集合语言、符号语言过渡,努力使表达既严谨规范又通俗易懂; 渗透变量的意识、相等和不等的转化、数和形的自然结合, 聚焦数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养的培养; 结合学生的实际情况布置不同的任务, 采用自主学习与合作学习相结合的方式组织教学活动, 鼓励学生自主探索、合作研究.

等式及其基本性质是对初中内容的回顾, 用集合表示方程和方程组的解集是对相应内容的提升, 有利于从整体和结构上把握相应的解. 韦达定理揭示了一元二次方程根与系数的关系, 是代数中的重要内容, 具有重要的意义. 恒等式在后续函数及三角等内容的学习中经常出现, 应逐步加深对其意义的理解, 区分恒等与有条件相等之间的差别.

实数的大小关系是研究不等关系的出发点, 而不等式的基本性质则是证明和求解不等式的基础. 高中阶段不等式的证明无论在抽象的水平还是推理的严谨性, 都较初中阶段有很大的提高. 教学中应注意把握节奏和难度,使学生尽快适应高中数学学习.

不同于课程标准中对本章的内容建议一一从函数的观点来处理一元二次不等式的求解, 本章教材中采取的是纯粹从不等式的性质, 按照代数的观点来求解一元二次不等式. 这样能够和初中的方法相衔接, 可望降低本阶段的学习难度, 使学生更好地适应高中数学学习. 具体地说, 在一元一次不等式和一元一次不等式组求解的基础上, 教材从求解特殊的一元二次不等式出发, 运用因式分解以及集合交与并的思想, 将一元二次不等式转化为一元一次不等式组求解, 然后遵循从特殊到一般的思想, 总结出一般情形下一元二次不等式的求解方法. 这样的设计能将不等式的求解与因式分解、 配平方等初中代数知识结合起来, 使思想与方法融为一体, 同时也巩固了第一章中所学的集合的交、并等概念. 总体来说, 这样的设计更为自然, 也更符合学生的认知规律. 至于从函数的观点, 即借助于二次函数图像及其零点来求解一元二次不等式的内容, 将在教材第五章函数的应用部分, 作为函数零点应用的一个特例加以落实. 相关的内容在后续的导数及其应用一章中, 还有进一步加深与拓展. 这样的编排设计对学生从整体上理解和认识函数、方程、不等式及其之间的关系是有帮助的.

关于分式不等式的求解, 是以一元二次不等式的求解为基础, 将其转化为一元二次(或一次)不等式或不等式组来求解. 这体现了不等式性质的运用,突出了不等式等价变形的思想, 有利于数学运算、逻辑推理等数学核心素养的培养. 同时, 结合实际情境, 抽象出不等式并进行求解的过程, 可使学生了解求解不等式以及所得结果的现实意义.

关于含绝对值的不等式的求解, 首先, 利用绝对值的几何意义, 分别给出两个最基本的含绝对值的不等式 $\left| x\right|  < a$ 及 $\left| x\right|  > a\left( {a > 0}\right)$ 的解集,它们是处理其他含绝对值的不等式的基础. 其次,对形如 $\left| {x - a}\right|  + \left| {x - b}\right|  > c\left( { < c}\right)$ 的不等式,采用对含绝对值的项讨论符号以去除绝对值的方法, 按照不同零点所划分的区间范围进行分类讨论, 从而转化为一元一次不等式或不等式组来进行求解. 这是求解含绝对值的不等式的基本思路, 有利于培养分类讨论的数学思想, 并为后续的函数、解析几何等内容的学习做好必要的准备.

基本不等式及其应用这一节是本章中的难点. 基本不等式在估计与证明、比较大小以及求解一些最大值和最小值问题方面都有应用. 在教学时, 对算术平均和几何平均概念的情景引入应直观、自然. 本教材将平均值不等式、常用不等式和三角不等式统称为基本不等式, 这与 “二期课改” 教材中基本不等式的含义不尽相同, 应予以区分. “三角不等式”一词在课程标准和“二期教改”教材中均未出现,为兼顾高中和大学高等数学名称的统一,将 $\left| {a + b}\right|  \leq  \left| a\right|  + \left| b\right| \left( {a\text{、}b \in  \mathbf{R}}\right)$ 称为三角不等式. 基本不等式等号成立的条件易为初学者忽视, 在教学中应予以特别关注.

除了不等式的基本性质 (传递性、加法性质、乘法性质) 以外, 不等式的一些常用性质 (如同向可加性、乘方性质等), 也被列入教材第二章的内容提要栏目, 可以直接使用, 无需另外加以证明.

不等式的求解本质上利用了一种程序化的思想, 关键是等价变形, 化繁为简、化难为易, 直至化为基本的模型进行求解. 在关于不等式求解的教学过程中, 应注意引导学生在数轴上画出图示, 直观地表示相应的解集, 并准确运用区间记号规范地表达不等式的解集.

不等式的证明方法往往因题而异, 灵活多变, 因此要具体问题具体分析. 在关于不等式证明的教学过程中应帮助学生分析思路和方法, 并严谨规范地表达证明过程. 在初学时,要注意控制难度,思路应朴素、自然,不提倡运用过难的变形、放缩等技巧. 教学过程中, 也可鼓励学生一题多解, 分组讨论学习, 以及运用互联网资源进行学习.

### 评价建议

### 评价原则

考查的重点内容是不等式性质的运用、不等式求解、不等式的论证、基本不等式及其应用以及数学思维与表达. 重点考查学生对知识的理解以及数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.

应编制有助于考查基本概念理解,以及抽象、运算、推理论证等方面素养的题目. 适当考查反证法证明. 注重通性、通法、数学应用等方面的考查.

避免编制过难、过繁, 运算量过大, 讨论层次过多, 过于偏重技巧, 思想方法超前的题目.

应用题的情景设置应自然合理, 避免编制脱离实际的人为应用题.

应重视过程评价, 关注学生日常学习的发展和变化, 关注学生的学习态度, 以评价促进学习, 促进发展, 促进教学.

### B 评价目标与要求

理解恒等的意义, 会求解恒等式中的未知系数.

会运用一元二次方程的韦达定理, 求解简单对称多项式的值.

会用集合符号正确表达方程和方程组的解集.

会运用不等式的基本性质比较实数或代数式值的大小.

会运用比较大小的方法证明一些较简单的不等式.

掌握不等式等价变形的方法, 正确求解不等式, 正确表达方程 (组) 和不等式 (组) 的解集.

会运用基本不等式求解简单的最大值和最小值问题.

会建立不等式模型求解简单的实际问题.

### 4 具体评价内容

考查数学表达:

通过理解和表示方程和方程组的解集, 考查抽象水平.

通过运用不等式的基本性质证明不等式和比较代数式值的大小, 考查简单推理的表达水平.

考查数学运算:

通过根据一元二次方程根的不同情况表达一元二次不等式的解集, 考查理解层次和水平.

通过比较求解分式方程与求解分式不等式变形方法的差异, 考查运算素养.

通过分式不等式的求解, 考查不等式等价变形的技能.

通过求解含绝对值的不等式, 考查分类讨论的思想以及等价变形的技能.

通过基本不等式求解最大值和最小值, 考查合理转化、合理变形的运算素养.

考查数学抽象和逻辑推理:

通过恒等式、算术平均值、几何平均值概念以及基本不等式中取得等号的条件, 考查对数学概念的内涵及相互关系的理解.

通过不等式的证明、充要条件的证明、代数式值的大小比较考查逻辑推理能力.

通过基本不等式的运用, 考查逻辑推理能力.

设置合适的情景,通过建立不等式、求解不等式、论证不等式,考查抽象、运算及推理能力.

#### 二、教材分析与教学建议

##### 2.1 等式与不等式的性质

### 教学重点

解集的表示, 根与系数的关系, 不等式的性质, 比较大小: 会用集合表示一元一次方程、一元二次方程和方程组的解集. 理解一元二次方程根与系数的关系; 已知根会构造相应的一元二次方程; 已知二次方程会求用根表示的简单二元对称多项式的值. 掌握实数的大小关系和不等式的基本性质, 会运用不等式的基本性质证明一些较简单的不等式. 会比较两个代数式值的大小.

### 内容分析

本节是对初中学过的等式和不等式性质的加深和提高. 在初中阶段等式和不等式的性质以文字语言表述为主; 而到了高中阶段, 则以符号语言 (集合与逻辑用语) 表述相应性质为主, 提高了抽象的层次, 但使用更方便.

等式部分包含等式的基本性质、恒等式、方程的解集、方程组的解集、一元二次方程根与系数的关系, 是初中数学到高中数学的过渡.

恒等式在高中数学学习中会经常出现,且非常有用. 表达式 $f\left( x\right)$ 与 $g\left( x\right)$ 恒等是指对任何使两者都有意义的 $x$ 值, $f\left( x\right)$ 与 $g\left( x\right)$ 的值都相等. 教材中给出的一元二次多项式恒等的结论, 可推广到高次的情形, 即两个一元多项式恒等当且仅当其对应幂次项系数相等.

用集合语言准确表示方程与方程组的解, 是一种规范的数学表达, 可以从整体上把握研究对象, 加深理解, 方便使用.

韦达定理揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系, 是代数中的重要定理. 教材中韦达定理的证明以考察等式恒成立的方法进行, 这一做法具有一般性, 对于高次方程以及复系数方程都可统一处理, 便于以后的学习. 为便于学生理解, 在边框中提示可以用求根公式加以验证.

实数的大小关系是研究一切不等式的基础. 不等式的性质是结合运算表达的, 其中传递性、加法性质及乘法性质是最基本的性质. 其他比较常用的性质, 如同向可加性用黑体字予以突出, 可作为依据直接使用.

以下为本章 2.1 节的全部例题和部分习题解析.

例 1 通过判断命题的真假, 学习数学论证的两种基本形式: 直接证明或举反例. 复习巩固常用的一些结论, 其中: (1)是等式加法性质的推广; (2)是等式乘法性质的推广; (3)是倒数性质; (4)是乘方性质; (5)是通过举反例强化消去律成立的条件; (6)是复习“若非负实数之和为零,则各部分实数均为零”这一常用的结论.

例 2、例 4 用集合表示方程 ${ax} = b$ 以及一元二次方程 $a{x}^{2} + {bx} + c = 0\left( {a \neq  0}\right)$ 的解集, 以进一步熟悉集合语言.

例 3 用集合表示一次方程组的解集. 通过表示方程组的解的过程, 进一步体会空集的重要作用.

例 5 介绍恒等式以及恒等式成立的充要条件. 边框解释了恒等式的含义. 在必要性的证明过程中,介绍了用赋值法处理恒等式的一般思想,即选取适当的 $x$ 值,代入恒等式两端, 得到关于系数的方程组, 从而求出系数的方法.

例 5 中的必要性还可以用反证法进行证明:

等式 ${a}_{1}{x}^{2} + {b}_{1}x + {c}_{1} = {a}_{2}{x}^{2} + {b}_{2}x + {c}_{2}$ 恒成立,等价于 $\left( {{a}_{1} - {a}_{2}}\right) {x}^{2} + \left( {{b}_{1} - {b}_{2}}\right) x \; + {c}_{1} - {c}_{2} = 0$ 对所有实数 $x$ 都成立. 假设 ${a}_{1} \neq  {a}_{2}$ ,则该方程为关于 $x$ 的二次方程,它至多有两个实数根,这和它对所有实数 $x$ 都成立矛盾,从而 ${a}_{1} - {a}_{2} = 0$ ,即 ${a}_{1} = {a}_{2}$ . 同理, ${b}_{1} - {b}_{2} = {c}_{1} - {c}_{2} = 0$ ,即 ${b}_{1} = {b}_{2},{c}_{1} = {c}_{2}$ .

例 6及练习 2.1(2)的第 2 题旨在用二元基本对称多项式 ${x}_{1} + {x}_{2},{x}_{1}{x}_{2}$ 表示一些对称多项式并求出其数值. 用基本对称多项式表示其他的对称多项式是代数中的重要内容, 这可以复习初中学过的代数运算公式, 还可以学习降次的方法. 例如, 设二次方程 $2{x}^{2} + {4x} - 3 = 0$ 的两个根为 ${x}_{1}\text{、}{x}_{2}$ ,求 ${x}_{1}^{3} + {x}_{2}^{3}$ ,就可通过 ${x}^{2} = \frac{3 - {4x}}{2}$ 降次化简,改写为 ${x}_{1}^{3} + {x}_{2}^{3} = {x}_{1}\left( \frac{3 - 4{x}_{1}}{2}\right)  + {x}_{2}\left( \frac{3 - 4{x}_{2}}{2}\right)$ ,就使高次降为低次.

例 7、例 8、例 9、例 10、例 11、例 12 以例题的形式进一步学习不等式的运算性质. 例 7 是不等式的移项法则. 例 8 讲不等式的同向可加性. 例 10 是不等式的倒数性质, 结合练习 2.1(3)第 2 题就给出了“倒数性质”成立的充要条件.

例 11 分别给出了不等式的同正同向的可乘性及不等式的乘方性质. 需要说明的是,例 11(2)中的乘方性质是乘法性质的推广,其证明由 $a > b > 0$ 推出 ${a}^{2} > {b}^{2} > 0$ ,再由 ${a}^{2} > {b}^{2} > 0$ 推出 ${a}^{3} > {b}^{3} > 0$ ,反复做乘法运算,最终就得到 ${a}^{n} > {b}^{n}$ . 在教学中,可取 $n$ 为某个确定值,例如 $n = 5$ ,帮助学生理解证明过程.

例 12 是不等式的开方性质. 注意到教材中在第三章才出现方根的概念, 在本章关于不等式开方性质的教学中,不宜用 “ $a > b > 0 \Rightarrow  \sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}(n \geq  2, n$ 为正整数)” 来表达开方性质,而是以 “若 ${a}^{n} > {b}^{n}$ ,则 $a > b\left( {a\text{、}b > 0}\right)$ ”的形式较好. 当然,这在学过方根概念后, 就没有必要了.

常用不等式 ${a}^{2} + {b}^{2} \geq  {2ab}$ 是实数平方非负这一重要性质的反映,教材中通过该定理的证明及例 13 , 介绍了通过作差判断符号的方法来比较两个代数式值的大小.

习题 2.1A 组第 13 题是最基本的排序不等式, 可举例帮助理解其意义, 但无需推广到更复杂情形.

习题 2.1B 组第 9 题是由生活情境建立不等式并加以证明的典型问题, 应启发思考,并可以适当推广. 例如: 对于正数 ${a}_{1}\text{、}{a}_{2}\text{、}{b}_{1}\text{、}{b}_{2}$ ,若 $\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}} < \frac{{a}_{2}}{{b}_{2}} < 1$ ,则 $\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}} < \frac{{a}_{1} + {a}_{2}}{{b}_{1} + {b}_{2}} < \; \frac{{a}_{2}}{{b}_{2}} < 1$ .

习题 2.1B 组第 7 题是联系等式和不等式情形的典型问题, 可以有效训练数学表达.

### 注意事项

本章所述的等式的性质不是初中已学过内容的简单重复, 而是有所深化, 体现在用字母表示抽象关系和性质. 符号化的表示旨在引导学生逐步适应高中的数学学习, 熟悉高中的表达要求,逐步加深抽象的层次.

高中阶段的不等式由不等式的性质、不等式的求解、不等式的证明、基本不等式四部分内容构成. 但不等式的证明未单独设节, 而是将其分散于不等式的性质、不等式求解、基本不等式等内容之中, 以不断使用并逐步加深理解的方式学习不等式的证明. 这是因为证明不等式本质上是一种技能, 证明方法因情况而异, 在后续函数性质、导数应用等内容的学习中还将进一步深化.

基本不等式也是证明不等式的重要工具, 本章第三节还将对不等式证明进行进一步的训练. 不等式的证明是不等式学习中的一个难点, 也是一个不断深化的过程. 特别对于充要条件的证明, 学生会有一些困难.

对于充要条件的证明, 应注意问题的表述形式, 正确区分充分性和必要性. 如求证 $A$ 成立的一个充要条件是 $B$ ,则必要性是证明 $A \Rightarrow  B$ ,而充分性是证明 $B \Rightarrow  A$ . 如果问题的表述是求证 $A$ 是 $B$ 的充要条件,那么必要性是证明 $B \Rightarrow  A$ ,而充分性是证明 $\Lambda  \Rightarrow  B$ .

教材中所给出的韦达定理证明方法同样可以用于高次方程的情形. 边框中提示了可以用二次方程的求根公式验证韦达定理, 但对于不存在根式解的高次方程, 该方法失效.

以 ${x}_{1}\text{、}{x}_{2}$ 为根的所有一元二次方程为 $a\left\lbrack  {{x}^{2} - \left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) x + {x}_{1}{x}_{2}}\right\rbrack   = 0\left( {a \neq  0}\right)$ . 不做特别说明时,一般是讨论首项系数为 1 的一元二次方程,即 ${x}^{2} - \left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) x + \; {x}_{1}{x}_{2} = 0$ .

用二元基本对称多项式 ${x}_{1} + {x}_{2}\left( { = p}\right)$ 及 ${x}_{1}{x}_{2}\left( { = q}\right)$ 表达关于 ${x}_{1}\text{、}{x}_{2}$ 的一些二元对称多项式,如 ${x}_{1}^{2} + {x}_{2}^{2},\frac{1}{{x}_{1}} + \frac{1}{{x}_{2}},{x}_{1}{x}_{2}^{3} + {x}_{2}{x}_{1}^{3},\left| {{x}_{1} - {x}_{2}}\right|$ 等,是代数中的一项基本内容, 在本章应予以必要的训练.

教学中应关注并指导学生的数学表述. 例如,当判断 $A$ 是 $B$ 的什么条件时,如果语句 $A$ 或 $B$ 较长,可以用引号将 $A\text{、}B$ 分别括起来; 但若语句 $A\text{、}B$ 较短或不会混淆, 就不必添加引号.

需要注意, 在比较大小问题中, 对于大于等于(≥)和小于等于(≤)的情形需要明确指出相等情形成立的条件.

### 教学建议

现实世界中存在大量的相等关系和不等关系. 教学中宜结合自然或科学的情景引入相等和不等关系, 体现数学是研究现实世界中的数量关系的学科, 现实对象经过抽象成为数学的研究对象.

应通过类比的方法学习等式和不等式的基本性质, 比较其异同. 相等关系具有对称性, 而不等关系不具有对称性.

不等式的证明是教学中的难点, 应注意分析思路、规范表达, 以便更好培养学生的逻辑推理素养. 重点要掌握比较法. 用比较法证明不等式的步骤是:作差、变形、 判断符号. 根据问题的特点, 一般先用因式分解、配方等方法变形后判断符号.

不等式的证明方法可以多种多样. 如例 10 第(2)小题,已知 $a > b > 0, c > d > 0$ , 求证: $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$ ,教材中是用不等式的传递性证明的. 也可以用比较的方法证明: $\frac{a}{d} - \; \frac{b}{c} = \frac{{ac} - {bd}}{cd}$ ,又由于 ${ac} - {bd} = {ac} - {bc} + {bc} - {bd} = c\left( {a - b}\right)  + b\left( {c - d}\right)  > 0$ ,且 ${cd} > 0$ , 从而 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$ . 应启发学生思考,做到具体问题具体分析,尽可能使证明思路合理、自然, 表达简洁, 不宜过分强调一些特殊的技巧.

在不等式证明过程中, 建议先用分析的方法探寻不等式证明的思路, 然后用综合的方法写出证明过程. 例如,要证明命题 $\alpha  \Rightarrow  \beta$ ,可寻求使 $\beta$ 成立的充分条件,把证明过程转化为不断寻求充分条件的过程,如果 ${\alpha }_{1} \Rightarrow  \beta ,\cdots ,{\alpha }_{n} \Rightarrow  {\alpha }_{n - 1}$ ,最后又有 $\alpha  \Rightarrow  {\alpha }_{n}$ , 那么可按 $\alpha  \Rightarrow  {\alpha }_{n} \Rightarrow  {\alpha }_{n - 1} \Rightarrow  \cdots  \Rightarrow  {\alpha }_{1} \Rightarrow  \beta$ 书写证明过程.

恒等式在后续函数、解析几何等内容中经常出现, 可通过分析解集, 举例说明恒等式、方程的意义. 赋值法是处理恒等式的重要方法, 合理赋值能够有效地简化运算.

#### 2.2 不等式的求解

### 对学重点

一元二次不等式的求解, 分式不等式的求解, 含绝对值的不等式的求解: 理解一元二次不等式的求解原理, 熟练掌握一元二次不等式的求解方法. 理解分式不等式求解的思想方法, 能熟练求解分式不等式. 理解含绝对值的不等式的求解方法, 会解较简单的含绝对值的不等式.

### 内容分析

“2.2 不等式的求解”包括一元一次不等式及一元一次不等式组的求解、一元二次不等式的求解、分式不等式的求解、含绝对值的不等式的求解四部分内容.

1. 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解

将初中的数字系数一元一次不等式及一元一次不等式组的求解扩展为字母系数的情形,渗透了参数意识和数形结合思想,是对初中内容的回顾和适当提升.

2. 一元二次不等式的求解

多数教材是通过一元二次函数的图像结合零点, 用图像法求解一元二次不等式. 其优点是直观, 容易理解和记忆, 缺点是观点提升较早, 和不等式的性质以及初中已知的一元一次不等式的求解方法联系不够紧密, 逻辑上依赖图像, 先有图像后再根据图像研究性质. 本套教材遵循由式到函数、由静到动、由特殊到一般的认识规律, 因此将数形结合求解一元二次不等式的思想方法移到函数一章, 那时再运用二次函数的零点并结合图像总体上把握不等式的求解, 使学生观念的提升更加自然、顺畅. 同时, 也强化了数学运算, 加强了不等式性质的训练. 这既与初中求解一元一次不等式的方法体系一脉相承,又能很好地巩固集合交和并的概念,使抽象的概念得到落实和强化, 更好培养学生逻辑推理、数学运算等方面的素养.

一元二次不等式的求解是不等式求解部分的核心和关键. 教材遵循由特殊到一般的认识规律, 由具体的例子出发, 归纳总结出一般的求解方法.

首先,处理二次项系数为正时的情形,按照一元二次方程判别式 $\Delta$ 的符号,分为 $\Delta  > 0,\Delta  = 0,\Delta  < 0$ 及不等号 $> , < , \geq  , \leq$ 共十二种情形,分别加以讨论 (在实际教学中, 可重点讲若干典型的情况, 其余的由学生自己思考与总结).

设 $a{x}^{2} + {bx} + c = 0\left( {a > 0}\right)$ 的两根为 ${x}_{1}\text{、}{x}_{2}\left( {{x}_{1} \leq  {x}_{2}}\right)$ .

情形(1): $\Delta  > 0$ 时, ${x}_{1} < {x}_{2}$ .

$$
a{x}^{2} + {bx} + c = a\left( {x - {x}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{2}}\right) .
$$

$$
a\left( {x - {x}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{2}}\right)  > 0 \Leftrightarrow  x < {x}_{1}\text{或}x > {x}_{2}\text{;}
$$

$$
a\left( {x - {x}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{2}}\right)  < 0 \Leftrightarrow  {x}_{1} < x < {x}_{2};
$$

$$
a\left( {x - {x}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{2}}\right)  \geq  0 \Leftrightarrow  x \leq  {x}_{1}\text{或}x \geq  {x}_{2}\text{;}
$$

$$
a\left( {x - {x}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{2}}\right)  \leq  0 \Leftrightarrow  {x}_{1} \leq  x \leq  {x}_{2}.
$$

情形(2): $\Delta  = 0$ 时, ${x}_{1} = {x}_{2}$ .

$$
\begin{gather} a\left( {x - {x}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{2}}\right)  = a{\left( x - {x}_{1}\right) }^{2}. \\ a{\left( x - {x}_{1}\right) }^{2} > 0 \Leftrightarrow  x \neq  {x}_{1}; \\ a{\left( x - {x}_{1}\right) }^{2} \geq  0 \Leftrightarrow  x \in  \mathbf{R}; \\ a{\left( x - {x}_{1}\right) }^{2} < 0 \Leftrightarrow  x \in  \varnothing ; \\ a{\left( x - {x}_{1}\right) }^{2} \leq  0 \Leftrightarrow  x = {x}_{1}. \end{gather}
$$

情形 $\left( 3\right)  : \Delta  < 0$ 时,无实根.

$$
\begin{gather} a{x}^{2} + {bx} + c = a{\left( x + m\right) }^{2} + n\left( {n > 0}\right) . \\ a{\left( x + m\right) }^{2} + n > 0 \Leftrightarrow  x \in  \mathbf{R}; \\ a{\left( x + m\right) }^{2} + n \geq  0 \Leftrightarrow  x \in  \mathbf{R}; \\ a{\left( x + m\right) }^{2} + n < 0 \Leftrightarrow  x \in  \varnothing ; \\ a{\left( x + m\right) }^{2} + n \leq  0 \Leftrightarrow  x \in  \varnothing . \end{gather}
$$

### 3. 分式不等式的求解

分式不等式的求解有两种基本思路, 一是转化为不等式组求解, 二是转化为整式不等式求解, 在本节的导入部分对这两种思路都做了说明. 分式不等式求解的基本类型是分子和分母都是一次式的情形, 其求解可以看做是一元二次不等式求解的应用, 关键是根据不等式的具体形式正确转化为一元二次不等式或不等式组.

$$
\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } > 0 \Leftrightarrow  f\left( x\right) g\left( x\right)  > 0;
$$

$$
\begin{aligned}  & \frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } < 0 \Leftrightarrow  f\left( x\right) g\left( x\right)  < 0; \\  & \frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } \geq  0 \Leftrightarrow  \left\{  \begin{array}{l} f\left( x\right) g\left( x\right)  \geq  0, \\  g\left( x\right)  \neq  0; \end{array}\right. \\  & \frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } \leq  0 \Leftrightarrow  \left\{  \begin{array}{l} f\left( x\right) g\left( x\right)  \leq  0, \\  g\left( x\right)  \neq  0. \end{array}\right. \end{aligned}
$$

其中, $f\left( x\right) \text{、}g\left( x\right)$ 为关于 $x$ 的一元多项式.

4. 含绝对值不等式的求解

求解含绝对值的不等式的基本方法是根据绝对值的定义、几何意义和不等式的性质, 去掉式中的绝对值符号, 化为不含绝对值的不等式求解.

含绝对值的不等式的求解的两种最基本的情形, 即

$$
\left| x\right|  < a \Leftrightarrow   - a < x < a\left( {a > 0}\right)
$$

及

$$
\left| x\right|  \geq  a \Leftrightarrow  x \geq  a\text{ 或 }x \leq   - a\left( {a > 0}\right) .
$$

实际上这两种基本情形可以推广为

$$
\left| {f\left( x\right) }\right|  < g\left( x\right)  \Leftrightarrow   - g\left( x\right)  < f\left( x\right)  < g\left( x\right) ; \tag{1}
$$

$$
\left| {f\left( x\right) }\right|  \geq  g\left( x\right)  \Leftrightarrow  f\left( x\right)  \geq  g\left( x\right) \text{ 或 }f\left( x\right)  \leq   - g\left( x\right) . \tag{2}
$$

其中, $f\left( x\right) \text{、}g\left( x\right)$ 为关于 $x$ 的一元多项式.

类似可得

$$
\left| {f\left( x\right) }\right|  \leq  g\left( x\right)  \Leftrightarrow   - g\left( x\right)  \leq  f\left( x\right)  \leq  g\left( x\right) ; \tag{3}
$$

$$
\left| {f\left( x\right) }\right|  > g\left( x\right)  \Leftrightarrow  f\left( x\right)  > g\left( x\right) \text{ 或 }f\left( x\right)  <  - g\left( x\right) . \tag{4}
$$

下面证明 (1)(2). (3)(4)的证明是类似的.

设集合 $A = \{ x\left| \right| f\left( x\right)  \mid   < g\left( x\right) , x \in  \mathbf{R}\} , B = \{ x \mid   - g\left( x\right)  < f\left( x\right)  < g\left( x\right)$ , $x \in  \mathbf{R}\}$ . 为证明 (1),要证明 $A = B$ . 因为

$$
{x}_{0} \in  A \Rightarrow  \left| {f\left( {x}_{0}\right) }\right|  < g\left( {x}_{0}\right)  \Rightarrow   - g\left( {x}_{0}\right)  < f\left( {x}_{0}\right)  < g\left( {x}_{0}\right)  \Rightarrow  {x}_{0} \in  B;
$$

反之

$$
{x}_{0} \in  B \Rightarrow   - g\left( {x}_{0}\right)  < f\left( {x}_{0}\right)  < g\left( {x}_{0}\right)  \Rightarrow  \left| {f\left( {x}_{0}\right) }\right|  < g\left( {x}_{0}\right)  \Rightarrow  {x}_{0} \in  A.
$$

从而 $A = B$ .

由于 $A = B$ ,从而 $\bar{A} = \bar{B}$ ,于是

$$
\{ x\left| \right| f\left( x\right)  \mid   \geq  g\left( x\right) , x \in  \mathbf{R}\}  = \{ x \mid  f\left( x\right)  \geq  g\left( x\right) \text{ 或 }f\left( x\right)  \leq   - g\left( x\right) , x \in  \mathbf{R}\} ,
$$

于是, $\left| {f\left( x\right) }\right|  \geq  g\left( x\right)  \Leftrightarrow  f\left( x\right)  \geq  g\left( x\right)$ 或 $f\left( x\right)  \leq   - g\left( x\right)$ ,从而(2)成立.

对于较复杂的含绝对值的不等式, 可以用换元的手段进行不等式的等价化简及变形, 将其转化为基本的情形, 再用基本方法求解.

以下为本章 2.2 节全部例题的解析.

例 1 复习和巩固一元一次型不等式求解的基本方法, 并正确表示其解集. 这是求解不等式单元的过渡和准备, 旨在温故知新、推陈出新.

例 2 的目的是复习用交集求一次不等式组解集的基本方法, 巩固交集的概念, 并为后续不等式求解作准备.

例 3、例 4 由特殊例子出发,提炼出在判别式 $\Delta  > 0$ 时,不等号为大于或小于两种基本情形下的求解方法, 并进一步归纳出表 2-1 所示的一般性结果.

例 5 的目的是介绍在二次项系数为负时的等价变形方法. 此时, 在不等式两端同乘 -1 , 将二次项系数的符号转化为正, 同时改变不等号的方向, 从而转化为基本类型, 并按表 2-1 所示进行求解.

例 6 中第 (1)(2) 小题考虑的是 $\Delta  = 0$ ,且不等号为大于 (>) 或小于等于值类) 的情形.

例 6 中第 (3)(4)小题考虑的是 $\Delta  < 0$ ,且不等号为大于等于(≥)或小于等于(≤) 的情形.

一元二次不等式求解的程序是:(1)二次项系数化为正； (2)求出两根； (3)由不等式符号写出解集. 应注意所处理的都是一元二次不等式中二次项系数为正数的情形, 在二次项系数为负数的情形需要先转化为正数情形, 再进行求解.

例 7 是一元二次不等式组求解. 教学中应重点引导学生在数轴上正确找出两个不等式解集的公共部分, 正确地表示其交集.

例 8、例 9 是不等式求解的逆向问题, 即在已知解集的情形下, 求系数所满足的关系或者系数值. 这是韦达定理及一元二次不等式求解的综合运用.

例 10 是分式不等式求解的最基本类型. 将其正确转化为二次不等式就能求解, 旨在突出求解的原理.

例 11 旨在强调不等式的等价变形方法: 先移项将其一端化为零, 再化为不等式组求解.

例 12 说明对于分式的分子或分母中恒正的二次式, 可以通过直接约分或去分母化简不等式. 本例分母二项式是恒正的, 可直接去分母, 化为整式不等式求解.

例 11、例 12 是强调不等式求解中三种基本的等价变形方法: (1) 移项后所得不等式与原不等式等价; (2)不等式两端同乘正数所得不等式与原不等式等价; 同乘负数并改变不等号方向所得不等式与原不等式等价; (3) 不等式两端同乘或同除以恒正的多项式所得不等式与原不等式等价.

例 13 是应用题, 重点是根据实际问题的意义建立相应的不等式组求解, 是分式不等式的具体应用. 教学中应注意实际问题中的字母含义对其取值范围的限定, 以及变量的单位和求解精度要求.

与初中代数相比, 分式不等式的求解对学生的运算能力要求有较大提高, 应加强必要的训练, 以期切实熟练掌握, 更好落实数学运算方面的核心素养.

例 14、例 15 是含绝对值的不等式求解的两种最基本情形的简单实例, 旨在说明所用的方法.

例 16、例 17 旨在介绍去掉绝对值符号的步骤和方法. 这种分区域讨论不等式的求解方法, 虽然初中有所涉及, 但现在的要求更高, 应先分段取交再各段取并, 从而求出解集. 教学中应注意分段的标准, 各段解的得出方法与表达形式, 以及以解集的形式表述原不等式的解, 简化书写过程.

初学时, 不建议用下面的方法处理例 16:

$$
\left| {{2x} - 1}\right|  > x \Leftrightarrow  {2x} - 1 > x\text{或}{2x} - 1 <  - x
$$

$$
\Leftrightarrow  x > 1\text{或}x < \frac{1}{3}
$$

$$
\Leftrightarrow  x \in  \left( {-\infty ,\frac{1}{3}}\right)  \cup  \left( {1, + \infty }\right) \text{.}
$$

理由是不等式右端不是常数,不同于 $\left| {{2x} - 1}\right|  > a$ ,学生理解起来可能有较大困难.

### 注意事项

高中数学不等式求解的重点是一元二次不等式, 它是求解其他复杂不等式的基础, 应熟练掌握. 在二次不等式求解问题中, 一些较复杂的问题, 如已知解集求系数所满足的条件等逆向问题, 需借助二次函数来解决, 建议放入第五章函数的应用部分处理. 现阶段教学的重点是掌握数字系数不等式的求解.

$\left| x\right|  < a \Leftrightarrow   - a < x < a\left( {a > 0}\right)$ 及 $\left| x\right|  \geq  a \Leftrightarrow  x \geq  a$ 或 $x \leq   - a\left( {a > 0}\right)$ 是含绝对值的不等式求解的基本模型, 应熟练掌握.

在分类讨论求解含绝对值的不等式时, 应注意逻辑关系, 先分类再做交, 最后取并集. 在每一分类部分, 求得的不等式要和分类所得的前提做交集, 此时用不等式表示解集比用区间一般更为简洁. 然后对各类取并集, 最后将求得的解集用区间形式表示.

求解分式不等式 $\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } > h\left( x\right)$ 有两种变形的策略: (1) 转化为不等式组求解: $\left\{  {\begin{array}{l} f\left( x\right)  > g\left( x\right) h\left( x\right) , \\  g\left( x\right)  > 0 \end{array}\text{ 或 }\left\{  {\begin{array}{l} f\left( x\right)  < g\left( x\right) h\left( x\right) , \\  g\left( x\right)  < 0; \end{array}\text{ (2) 转化为整式不等式求解: }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } > }\right. }\right. \; h\left( x\right)  \Leftrightarrow  \frac{f\left( x\right)  - g\left( x\right) h\left( x\right) }{g\left( x\right) } > 0 \Leftrightarrow  g\left( x\right) \left( {f\left( x\right)  - g\left( x\right) h\left( x\right) }\right)  > 0$ . 应根据运算量的大小选择合适的策略.

不等式等价变形的基本方法有: 移项; 不等式两端同乘正数; 不等式两端同乘或同除以恒正的代数式. 在同乘负数时要改变不等号的方向.

本章从不等式性质的角度学习不等式的求解方法, 在第五章中还将学习从函数角度求解不等式, 教学中应注意学习的阶段性和层次性.

### 教学建议

复习一元一次不等式及一元一次不等式组求解, 正确求出不等式组的解集.

从熟悉的情景中引入一元二次不等式, 明确一元二次不等式的概念.

从特殊情形下的一元二次不等式的求解出发, 归纳、总结出一般的求解规律, 引导发现、讲清道理. 现阶段不宜用二次函数的图像来说明一元二次不等式的求解规律, 该方法将在第五章函数的应用部分讨论.

运用不等式的性质, 将一元二次不等式转化为一元一次不等式组求解, 是教材中处理一元二次不等式的基本思想. 一元二次不等式的求解过程体现了从特殊到一般的思考过程, 教材从特例出发提炼共性、总结归纳一般规律, 并以这种规律为指导求解具体的不等式. 这种由特殊到一般再到特殊的过程, 体现了数学中的归纳与演绎过程, 体现了数学的研究规律, 教学中应加以启发、引导, 落实有关数学素养的培养.

一元二次不等式求解的规律及结论反映在教材表 2-1 及表 2-2 中. 求解程序是: (1)二次项系数化正；(2)求出对应方程的实根；(3)结合根的情况和不等式的符号写出解集.

一元二次不等式是分式不等式求解的基础,分式不等式 $\frac{{ax} + b}{{cx} + d} > 0(a\text{、}b\text{、}c\text{、}d \in$ R) 等的求解可以视为一元二次不等式的应用. 将分式不等式 $\frac{{ax} + b}{{cx} + d} > 0(a\text{、}b\text{、}c\text{、}d \in$ R) 等价变形,化为二次不等式 $\left( {{ax} + b}\right) \left( {{cx} + d}\right)  > 0$ ,要比化为不等式组 $\left\{  \begin{array}{l} {ax} + b > 0, \\  {cx} + d > 0 \end{array}\right.$ 或 $\left\{  \begin{array}{l} {ax} + d < 0, \\  {cx} + d < 0 \end{array}\right.$ 求解简单. 教学中应强调分式不等式等价变形的基本思想, 注意与分式方程求解的比较. 需要特别指出, 由于方程的根的个数一般是有限的, 可以通过检验的方法排除分式方程化为整式方程时的增根, 而分式不等式的解通常含有无限个元素, 无法一一检验, 必须采用等价变形. 学生要体会处理等式与不等式时的异同.

分式不等式求解的关键是等价变形. 在不等式两端同乘或同除以一个量时要注意与等式时的区别. 在等式情形, 只要该量不等于零, 得到的式子就与原来的式子等价, 但在不等式的情形, 同乘正的量后才能保持原来的不等号方向不变, 而在乘负的量时, 必须改变原有不等号的方向. 如果不能确定所乘量的符号, 就要分别讨论. 可举例说明 $\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } > h\left( x\right)$ 化成 $f\left( x\right)  > g\left( x\right) h\left( x\right)$ 这一错误变形的原因,以及正确的变形方法.

对含绝对值不等式的求解,教材中给了两种基本模型: $\left| x\right|  < a \Leftrightarrow   - a < x < \; a\left( {a > 0}\right)$ 和 $\left| x\right|  > a \Leftrightarrow  x > a$ 或 $x <  - a\left( {a > 0}\right)$ ,并以 $\left| {x + a}\right|  + \left| {x + b}\right|  < c$ 型不等式的求解为例, 介绍了根据零点和绝对值的定义, 分类讨论脱去绝对值符号进行求解的基本思想. 教学中应注意分类的标准、逻辑关系以及表达方法, 建议在每一子类中用不等式表示解, 最后综合得出用区间形式表示的解集.

#### 2.3 基本不等式及其应用

### 教学重点

算术平均值与几何平均值, 平均值不等式, 三角不等式: 理解两个正数的算术平均值、几何平均值的概念及其意义. 理解平均值不等式及其中取等号的条件, 会运用平均值不等式求解较简单的最大值和最小值问题, 能运用平均值不等式比较大小及证明一些简单的不等式. 理解三角不等式及其中取等号的条件, 会运用三角不等式证明一些不等式, 并求解一些简单的最大值或最小值问题.

### 内容分析

平均值不等式内容包括算术平均值 $\frac{a + b}{2}\left( {a\text{、}b > 0}\right)$ 和几何平均值 $\sqrt{ab}\left( {a\text{、}b > 0}\right)$ 的概念,平均值不等式和常用的不等式即 $\frac{a + b}{2} \geq  \sqrt{ab}\left( {a\text{、}b > 0}\right)$ 与 ${\left( \frac{a + b}{2}\right) }^{2} \geq  {ab}$ 的证明, 并将其应用于求简单的最大或最小值, 和证明其他的一些不等式.

三角不等式 $\left| {a + b}\right|  \leq  \left| a\right|  + \left| b\right| \left( {a\text{、}b \in  \mathbf{R}}\right)$ ,其名称来源于三角形两边之和大于第三边这一几何事实, 在后续课程 (如向量、复数) 乃至高等数学的学习中具有重要作用. 课程内容包括三角不等式的概念及证明, 并将其用于求简单的最大或最小值, 和证明其他的一些不等式.

以下为本章 2.3 节全部例题和部分习题的解析.

例 1 和例 2 是用不同形式表示一个正数和其倒数的和大于等于 2 , 是平均值不等式的直接应用.

例 3 是直接运用常用不等式求最大值的例子. 可与配方法求二次函数的最大值进行比较, 提高理解及运算水平.

例 4 通过比较代数式值的大小, 学习使用平均值不等式的基本变形技巧, 变形的方向围绕求解目标配凑定值, 以循序渐进地提高运算能力.

例 5 是运用平均值不等式求最大与最小值的经典问题, 在理论和实践中都有重要的意义. 在平均值不等式 $\frac{a + b}{2} \geq  \sqrt{ab}$ 中,当积 ${ab}$ 是定值时,和 $a + b$ 有最小值; 当和 $a + b$ 是定值时,积 ${ab}$ 有最大值.

例 6 是运用平均值不等式模型求解实际问题的例子, 体现了数学模型的建立和求解过程, 以及实际问题中对求解精确度的要求.

例 7 是运用三角不等式证明其他不等式的简单例子, 目的在于说明使用三角不等式的基本方法.

例 8 、例 9 在于强调变形转化为可运用三角不等式的方法, 并突出不等式取得等号的条件.

习题 2.3B 组第 1、3、4 题旨在训练运用平均值不等式证明其他一些不等式, 可在习题课中选择讲解.

复习题 A 组第 12 题和第 13 题给出了基本不等式的直观解释.

### 注意事项

与“二期课改”教材基本不等式的含义不同, 本章教材中将平均值不等式、常用不等式和三角不等式统称为基本不等式, 突出了三角不等式在后续学习中的地位与作用, 应予以注意.

三角不等式是本教材的新增内容. 理解和证明三角不等式本身并不困难, 但对它的认识和应用, 有个逐步提高的过程. 三角不等式不仅是一个常用的基本不等式, 并且它在向量、复数, 以及高等数学中都会出现, 有着十分重要的意义, 增加这部分内容是十分必要的. 在第二章, 教学的要求包括三角不等式的概念及证明, 并将其用于求简单的最大或最小值和证明其他的一些不等式.

三角不等式名称的来源目前不必特别强调, 初学只要知道其名称即可, 在后续向量、复数等内容的学习中会进一步加深理解.

要注意不等式 ${\left( \frac{a + b}{2}\right) }^{2} \geq  {ab}$ 与不等式 $\frac{a + b}{2} \geq  \sqrt{ab}$ 成立的条件不同,前者对任意实数 $a\text{、}b$ 都成立,而后者仅对非负实数 $a\text{、}b$ 成立. 不能从后一个不等式直接平方得到前一个不等式. 不等式 ${\left( \frac{a + b}{2}\right) }^{2} \geq  {ab}$ 在解决具体问题中运用更加方便.

对于任意给定的正数 $a\text{、}b$ ,如下不等式成立:

$$
\min \{ a, b\}  \leq  \frac{2ab}{a + b} \leq  \sqrt{ab} \leq  \frac{a + b}{2} \leq  \sqrt{\frac{{a}^{2} + {b}^{2}}{2}} \leq  \max \{ a, b\} .
$$

一组正数的任何平均值总是介于这组数的最大值和最小值之间.

三角不等式 $\left| {a + b}\right|  \leq  \left| a\right|  + \left| b\right| \left( {a\text{、}b \in  \mathbf{R}}\right)$ 中等号成立的充要条件是 ${ab} \geq  0$ . 该不等式可以推广到多个变量的情形.

基本不等式是估计和证明其他一些不等式的重要工具. 使用多个基本不等式求最值时, 这些不等式中的等号必须同时成立. 学会灵活运用基本不等式, 对提高数学运算、数学推理等核心素养有很大作用. 但教学中应循序渐进地提高运算水平, 注意控制训练的强度与难度, 不可能一蹴而就.

二元算术平均和几何平均都可以推广到 $n$ 元的情形. 设 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}$ 为 $n$ 个正数,称 $\frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots  + {a}_{n}}{n}$ 为这 $n$ 个数的算术平均值,而 $\sqrt[n]{{a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n}}$ 为这 $n$ 个数的几何平均值. $n$ 元平均值不等式仍成立: $\frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots  + {a}_{n}}{n} \geq  \sqrt[n]{{a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n}}$ ,当且仅当 ${a}_{1} = \; {a}_{2} = \cdots  = {a}_{n}$ 时等号成立.

### 教学建议

建议设计合适的情景引入算术平均值和几何平均值, 由此体会平均值的意义. 例如, 可以按教材所述, 从测量误差的角度引入算术平均值, 从求面积等于已知矩形面积的正方形边长引入几何平均值.

还可以从经济学环比平均增长率的角度引入几何平均值: 设某种商品的初始产量为 $m$ 单位,接连两期的增长率分别为 $a\text{、}b$ ,而每期平均增长率为 $x$ ,则有 $m\left( {1 + a}\right) \; \left( {1 + b}\right)  = m{\left( 1 + x\right) }^{2}$ ,由此 $1 + x = \sqrt{\left( {1 + a}\right) \left( {1 + b}\right) }$ . 记 $1 + a = A,1 + b = B,1 + x = \; X$ 就是 $A\text{、}B$ 的几何平均值.

平均值不等式也可以从二次函数的性质来得到: 设正数 $a\text{、}b$ 满足 $a + b = {2l}$ ,其中 $l$ 为定值. 不妨令 $a = l + t\left( {0 \leq  t < l}\right)$ ,则有 $b = l - t$ 及 ${ab} = {l}^{2} - {t}^{2}$ . 因为 ${l}^{2} - {t}^{2}$ 随 $t$ 的增大而减小,显然 ${ab} = {l}^{2} - {t}^{2} \leq  {l}^{2}$ ,即 ${ab} \leq  {\left( \frac{a + b}{2}\right) }^{2}$ ,当且仅当 $t = 0$ ,即 $a = b$ 时, 等号成立. 由于 $a - b = {2t}$ ,这表明两个正数相差越大时,其乘积越小,而相差越小时, 其乘积越大. 另外, 从几何直观上来看, 观察周长固定的矩形面积的变化情况, 亦能帮助理解平均值不等式.

运用平均值不等式求最值有两种基本情形: 对于两个正的变量 $x\text{、}y,\left( 1\right)$ 当其和 $x + y = s$ 为定值时,其乘积 ${xy}$ 当且仅当 $x = y = \frac{s}{2}$ 时,取得最大值 $\frac{{s}^{2}}{4}$ ; (2) 当其乘积 ${xy} = p$ 为定值时,其和 $x + y$ 当且仅当 $x = y = \sqrt{p}$ 时,取得最小值 $2\sqrt{p}$ .

运用平均值不等式求最值, 要注意: 只有当平均值不等式中的等号成立时, 才能取得相应的最值.

多次运用平均值不等式求最值时, 必须保证所有不等式中的等号都成立才行. 教学中可以举例说明, 指出造成错误的原因以及正确的解题方法. 例如, 可分析下例的求解错在何处.

已知 $x\text{、}y$ 为正数, $x + {2y} = 3$ ,求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值. 解答:因为 $3 = x + {2y} \geq  2 \; \sqrt{x \cdot  {2y}} \Rightarrow  {xy} \leq  \frac{9}{8}$ ,所以 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq  \frac{2}{\sqrt{xy}} \geq  2 \times  \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ . 因此 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为 $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ .

此解答中第一次运用平均值不等式时等号成立的条件是 $x = {2y}$ ,第二次运用平均值不等式时等号成立的条件是 $\frac{1}{x} = \frac{1}{y}$ 即 $x = y$ ,由于 $x\text{、}y$ 是正数,这两个条件不可能同时满足, 因而上述两个不等式中等号不可能同时成立, 所以据此求得的最小值是错误的. 下面给出一个正确解答.

$$
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \times  \frac{x + {2y}}{x} + \frac{1}{3} \times  \frac{x + {2y}}{y} = \frac{1}{3}\left( {1 + \frac{2y}{x} + \frac{x}{y} + 2}\right)  = \frac{1}{3}\left( {3 + \frac{2y}{x} + \frac{x}{y}}\right)
$$

$$
\geq  \frac{1}{3}\left( {3 + 2\sqrt{\frac{2y}{x} \cdot  \frac{x}{y}}}\right)  = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3}\text{. }
$$

当且仅当 $\frac{2y}{x} = \frac{x}{y}$ ,即 $x = \sqrt{2}y$ ,也就是 $x = 3\left( {\sqrt{2} - 1}\right) , y = \frac{3}{2}\left( {2 - \sqrt{2}}\right)$ 时,原式取得最小值 $\frac{3 + 2\sqrt{2}}{3}$ .

运用三角不等式证明其他的不等式时, 一般是先构造等式, 再由等式放缩得到三角不等式. 如复习 B 组第 10 题证明 $\left| a\right|  + \left| b\right|  \leq  \left| {a + b}\right|  + \left| {a - b}\right|$ . 首先

$$
{2a} = \left( {a + b}\right)  + \left( {a - b}\right)  \Rightarrow  \left| {2a}\right|  = \left| {\left( {a + b}\right)  + \left( {a - b}\right) }\right|  \leq  \left| {a + b}\right|  + \left| {a - b}\right| ,
$$

同理

$$
{2b} = \left( {b + a}\right)  + \left( {b - a}\right)  \Rightarrow  \left| {2b}\right|  = \left| {\left( {b + a}\right)  + \left( {b - a}\right) }\right|
$$

$$
\leq  \left| {b + a}\right|  + \left| {b - a}\right|  = \left| {a + b}\right|  + \left| {a - b}\right| .
$$

两式相加并同除以 2 即得要证的不等式. 用放缩法证明不等式, 方法灵活多样, 教学中应加强分析, 启发引导, 并注意控制难度.

探究与实践活动是在教师指导下的学生自主学习板块. 教材以中国数学史中的弦图为载体, 介绍了由等式通过放缩导出不等式的方法. 相等和不等是数量间的两种关系, 它们并不是截然对立的, 在一定条件下可以相互转化. 教材通过复习多项式乘法运算, 自然地得到了三元平均值不等式和二元柯西不等式, 为后续数学建模学习作了铺垫. 教学时, 建议在小结复习阶段根据实际情况安排 1 课时, 结合不等式证明和基本不等式的复习进行选择性讲解, 以进一步加深对相等与不等关系的理解.

在课后阅读部分,教材首先通过船只在河道中顺流上行和逆流下行的平均速度引出调和平均值的概念, 再与静水中船只的速度 (相当于上行和下行速度的算术平均值) 相比较, 得到了调和平均值总小于等于算术平均值的结论. 此外, 教材还介绍了以调和平均值与算术平均值不等式为原理设计的迈克耳孙-莫雷实验. 这一历史上的著名实验解决了当年普遍困惑物理学界的问题, 而其基本思想竟是平均值不等式这一初等数学的知识! 这个例子充分体现了数学在推动人类文明发展进程中所发挥的重要作用, 说明了初等数学不仅仅是学习科学的基础, 而且在实际工作中运用得当也会有意想不到的效果. 这样融数学知识和数学文化于一体的课后阅读内容, 可以激发学生的兴趣, 提升学生的素养. 教师在教学中应结合实际, 引导学生自主阅读, 具备条件的也可将其作为拓展内容进行讲解, 并鼓励优秀学生尝试进行相关的探究实践活动.

#### 三、参考答案或提示

##### 2.1 等式与不等式的性质

练习 2.1(1)

1.(1)假命题；(2)(3)(4)真命题.

2. 当 $a \neq  1$ 时,解集为 $\{ a + 1\}$ ; 当 $a = 1$ 时,解集为 $\mathbf{R}$ .

3. 当 $k \neq  0$ 时,解集为 $\left\{  \left( {-\frac{2}{k}, - 1}\right) \right\}$ ; 当 $k = 0$ 时,解集为 $\varnothing$ .

练习 ${2.1}\left( 2\right)$

1. 当 $a < 2$ 且 $a \neq  0$ 时,解集为 $\left\{  {\frac{2 - \sqrt{4 - {2a}}}{a},\frac{2 + \sqrt{4 - {2a}}}{a}}\right\}$ ; 当 $a = 2$ 时,解集为 $\{ 1\}$ ; 当 $a > 2$ 时,解集为 $\varnothing$ .

2. (1) 3 . (2) $\frac{4}{3}$ . (3) 7. (4) -17.

练习 2.1(3)

1.(1)假命题. (2)假命题. (3)真命题. (4)假命题. (5)假命题. 理由略.

2. 证明略.

练习 2.1(4)

1. (1)真命题. (2)假命题. (3) 真命题. 理由略.

2. ${x}^{2} + 4 \geq  {4x}$ ,当 $x = 2$ 时, ${x}^{2} + 4 = {4x}$ ; 当 $x \neq  2$ 时, ${x}^{2} + 4 > {4x}$ .

习题 2.1

A 组

1. 当 $a \neq  0$ 时,解集为 $\left\{  \frac{2}{a}\right\}$ ; 当 $a = 0$ 时,解集为 $\varnothing$ .

2. 当 $k \neq   - 2$ 时,解集为 $\left\{  \left( {\frac{4}{k + 2},\frac{k - 6}{k + 2}}\right) \right\}$ ; 当 $k =  - 2$ 时,解集为 $\varnothing$ .

3. $\{ a + 2, a - 2\}$ .

4. $a = 1, c = 4$ .

5. 证明略.

6. (1) ${x}^{2} - {3x} - 3 = 0$ . (2) ${x}^{2} + {4x} - {17} = 0$ . (3) ${x}^{2} - x - \frac{1}{3} = 0$ . (4) ${x}^{2} - {15x} + 9 = 0$ .

7. (1)真命题. (2)真命题. (3)假命题. (4) 真命题. (5) 真命题. (6) 假命题.

8. (1) C. (2) B. (3) C.

9. 证明略.

10. $\left( {x + 1}\right) \left( {{x}^{2} - x + 1}\right)  > \left( {x - 1}\right) \left( {{x}^{2} + x + 1}\right)$ .

11. (1) $3 + \sqrt{3} > 2 + \sqrt{5}$ . (2) $\sqrt{3} + \sqrt{5} > \sqrt{2} + \sqrt{6}$ .

12. ${a}^{2} + {b}^{2} \geq  {2a} - {2b} - 2$ . 当且仅当 $a = 1, b =  - 1$ 时, ${a}^{2} + {b}^{2} = {2a} - {2b} - 2$ .

13. 证明略.

14. 证明略.

15. 当且仅当 $a = b$ 时,等号成立. 证明略.

### B 组

1. 当 $a \neq  2$ 时,解集为 $\{ a + 2\}$ ; 当 $a = 2$ 时,解集为 $\mathbf{R}$ .

2. 当 $m =  - 1$ 时,解集为 $\left\{  {-\frac{5}{3}}\right\}$ ; 当 $m < \frac{1}{8}$ 且 $m \neq   - 1$ 时,解集为 $\left\{  {\frac{-{3m} - \sqrt{1 - {8m}}}{m + 1},\frac{-{3m} + \sqrt{1 - {8m}}}{m + 1}}\right\}$ ；当 $m = \frac{1}{8}$ 时,解集为 $\left\{  {-\frac{1}{3}}\right\}$ ；当 $m > \frac{1}{8}$ 时, 解集为 $\varnothing$ .

3. -1 .

4. 证明略.

5. (1) ${x}^{2} + {2x} + \frac{3}{4} = 0$ . (2) ${x}^{2} - \frac{17}{2}x + \frac{33}{2} = 0$ . (3) ${x}^{2} + \frac{13}{6}x + 1 = 0$ .

(4) ${x}^{2} - \frac{97}{16}x + \frac{81}{16} = 0$ .

6. $m = 1$ 或 $m =  - \frac{1}{2}$ .

7. 证明:

$a > b > c \Rightarrow  \left\{  \begin{array}{l} a > b, \\  a > c, \Rightarrow  {3a} > a + b + c.\text{ 又 }a + b + c = 0,\text{ 故 }{3a} > 0,\text{ 得 }a > 0; \\  a = a \end{array}\right.$

$a > b > c \Rightarrow  \left\{  \begin{array}{l} c < a, \\  c < b, \Rightarrow  {3c} < a + b + c.\text{ 又 }a + b + c = 0,\text{ 故 }{3c} < 0,\text{ 得 }c < 0. \\  c = c \end{array}\right.$

8. $p + 1 > s > 2$ .

证明: $a > 1$ 且 $b > 1 \Leftrightarrow  \left\{  {\begin{array}{l} a - 1 > 0, \\  b - 1 > 0 \end{array} \Leftrightarrow  \left\{  {\begin{array}{l} \left( {a - 1}\right)  + \left( {b - 1}\right)  > 0, \\  \left( {a - 1}\right) \left( {b - 1}\right)  > 0 \end{array} \Leftrightarrow  s > 2}\right. }\right.$ 且 $p + 1 > s$ .

9. 证明略.

#### 2.2 不等式的求解

练习 ${2.2}\left( 1\right)$

1. 当 $a > 1$ 时,解集为 $\left( {-\infty , a + 1}\right)$ ; 当 $a < 1$ 时,解集为 $\left( {a + 1, + \infty }\right)$ .

2. $\left( 1\right) \left( {-3,2}\right)$ . (2) $\left( {-\infty , - 3}\right)  \cup  \left( {2, + \infty }\right)$ . (3) $\left( {-\infty , - 3\rbrack \cup \lbrack 2, + \infty }\right)$ .

3. (1) $\left( {-\infty , - 2\rbrack  \cup  \left\lbrack  {-\frac{2}{3}, + \infty }\right. }\right)$ . (2) $\left( {-\infty , - 1 - \sqrt{5}}\right)  \cup  \left( {-1 + \sqrt{5}, + \infty }\right)$ .

练习 2.2(2)

(2)解集为 $\varnothing$ . (3)解集为 $\left( {-\infty ,\frac{1}{3}}\right)  \cup  \left( {\frac{1}{3}, + \infty }\right)$ .

(4)解集为 $\varnothing$ . (5)解集为 $\mathbf{R}$ . (6)解集为 $\mathbf{R}$

${x}^{2} - {6x} + 7 < 0.$ (2) ${x}^{2} - {6x} + 7 \geq  0$ .

(3)例如 ${x}^{2} + 1 > 0.\;$ (4) 例如 ${x}^{2} < 0$ .

练习 ${2.2}\left( 3\right)$

1.(1)解集为 $\left( {3, + \infty }\right)$ . (2)解集为 $\lbrack 5,6)$ .

2. $m$ 的取值范围为 $\left\lbrack  {\frac{1}{4}, + \infty }\right)$ .

3. $a = 5, b =  - 6$ ,解集为 $\left( {-\frac{1}{2}, - \frac{1}{3}}\right)$ .

练习 ${2.2}\left( 4\right)$

(1)解集为 $\left( {-\infty ,1}\right)  \cup  \left( {\frac{3}{2}, + \infty }\right)$ . (2)解集为 $\left( {-2,\frac{1}{2}}\right\rbrack$ . (3)解集为 $\left( {1, + \infty }\right)$ . (4)解集为 $( - 2,0\rbrack$ . (5) 解集为(2,3). (6) 解集为 $\varnothing$ .

练习 ${2.2}\left( 5\right)$

(1) 解集为 $\left( {-7,1}\right) .\;\left( 2\right)$ 解集为 $\left( {-\infty , - 1}\right)  \cup  \left( {2, + \infty }\right)$ . (3)解集为 $\left( {1, + \infty }\right)$ . (4) 解集为 $\left( {-\infty , - 2}\right)  \cup  \left( {5, + \infty }\right)$ .

习题 2.2

A 组

1.(1)解集为 $\left( {-\infty ,0}\right)$ . (2)解集为 $\left( {2, + \infty }\right)$ .

2.(1)解集为 $\left( {-\infty , a + 2}\right)$ . (2)解集为 $\left( {-\infty ,{m}^{2} + m + 1}\right)$ . (3)当 $p > q$ 时,解集为 $\left( {-\infty , p + q}\right)$ ; 当 $p < q$ 时,解集为 $\left( {p + q, + \infty }\right)$ .

3. (1)解集为 $\left( {-\infty ,2\rbrack \cup \lbrack 3, + \infty }\right)$ . (2) 解集为 $\left\lbrack  {-2,3}\right\rbrack$ . (3)解集为 (4) 解集为 $\left( {-\infty , - 3}\right)  \cup  \left( {2, + \infty }\right)$ .

4. (1) $A \cup  B = \left( {-\infty ,1}\right)  \cup  \lbrack 3, + \infty )$ . (2) $A \cap  B = ( - 2, - 1\rbrack$ . (3) $\overline{A \cap  B} = \; \left( {-\infty , - 2\rbrack \cup ( - 1, + \infty }\right)$ . (4) $\bar{A} \cup  \bar{B} = ( - \infty , - 2\rbrack  \cup  \left( {-1, + \infty }\right)$ .

5.(1) $k$ 的取值范围为 $\left( {-1,3}\right)$ . (2) $k$ 的取值范围为 $\left( {-\infty ,0}\right)  \cup  \left( {3, + \infty }\right)$ .

6.(1) $k$ 的取值范围为 $\left( {-\infty , - 6\rbrack \cup \lbrack 2, + \infty }\right)$ . (2) $k$ 的取值范围为 $\left\lbrack  {-1,2}\right\rbrack$ .

7.(1)解集为(3). (2)解集为 $\mathbf{R}$ . (3)解集为 $\varnothing$ . (4)解集为 $\mathbf{R}$ .

8.(1)解集为 R. (2)解集为 $\mathbf{R}$ . (3)解集为 $\varnothing$ . (4)解集为 $\mathcal{Q}$ .

9. $a$ 的取值范围为 $\left( {-2\sqrt{2},2\sqrt{2}}\right)$ .

10. $a = 4, b = 3$ .

11. ( 1 )解集为 $( - 4, - 3\rbrack$ . (2)解集为 $\varnothing$ . (3)解集为 $( - \infty , - 1\rbrack  \cup \; \left\lbrack  {\frac{2}{3},\frac{3}{4}}\right)  \cup  \left( {3, + \infty }\right)$ .

12.(1)解集为 $\left( {-\infty , - 1}\right)  \cup  \left( {2, + \infty }\right)$ . (2)解集为 $\left( {-\infty ,0}\right)  \cup  \left( {1, + \infty }\right)$ .

(3)解集为 $\left\lbrack  {\frac{1}{4},\frac{3}{4}}\right) .\;\left( 4\right)$ 解集为 $\left( {-\infty , - 2}\right)  \cup  \left\lbrack  {\frac{1}{2}, + \infty }\right)$ . (5)解集为 $\left( {1,8}\right)$ .

13. (1) $k$ 的取值范围为 $\left( {-\infty , - \frac{7}{2}}\right)  \cup  \left( {0, + \infty }\right)$ . (2) $k$ 的取值范围为 $\left( {-\frac{7}{2},0}\right)$ .

14.(1)解集为 $\left( {-1,\frac{3}{2}}\right)$ . (2)解集为 $\left( {\frac{4}{3}, + \infty }\right)$ . (3)解集为 $\left( {-\infty ,\frac{1}{2}}\right\rbrack   \cup \; \lbrack 3, + \infty )$ . (4)解集为(-3,4).

15. 提示: 设船速为 $x\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h}$ ,则 $\frac{75}{x + 4} + \frac{126}{x - 4} \leq  \frac{9}{2}$ . 船速至少为 ${46}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h}$ .

B 组

1. 当 $a > 0$ 时,解集为 $\left( {\frac{b}{a}, + \infty }\right)$ .

当 $a < 0$ 时,解集为 $\left( {-\infty ,\frac{b}{a}}\right)$ .

当 $a = 0$ 时:(1)若 $b \geq  0$ ,解集为 $\varnothing$ . (2)若 $b < 0$ ,解集为 $\mathbf{R}$ .

2. (1)当 $a >  - 3$ 时,解集为 $\left( {-\infty , - 3\rbrack \cup \lbrack a, + \infty }\right)$ ；

当 $a =  - 3$ 时,解集为 $\mathbf{R}$ ;

当 $a <  - 3$ 时,解集为 $\left( {-\infty , a\rbrack \cup \lbrack  - 3, + \infty }\right)$ .

(2)当 $a > 0$ 时,解集为 $\left( {-\infty , a}\right)  \cup  \left( {{2a}, + \infty }\right)$ ；

当 $a = 0$ 时,解集为 $\left( {-\infty ,0}\right)  \cup  \left( {0, + \infty }\right)$ ;

当 $a < 0$ 时,解集为 $\left( {-\infty ,{2a}}\right)  \cup  \left( {a, + \infty }\right)$ .

(3)解集为 $\left( {-\infty , a\rbrack \cup \lbrack a + 1, + \infty }\right)$ .

3. $b =  - \frac{5}{2}, c = 1$ ; 解集为 $\left\lbrack  {-2, - \frac{1}{2}}\right\rbrack$ .

4.(1)解集为 $\left\lbrack  {\frac{4}{9},\frac{1}{2}}\right)$ . (2)解集为 $\left( {-\infty , - 1}\right)  \cup  \left( {0,1}\right)$ . (3)解集为 $\left( {-\infty ,\frac{5}{2}}\right\rbrack   \cup  \left( {4, + \infty }\right) .$

5. (1)解集为 $\left\lbrack  {-1,\frac{1}{2}}\right\rbrack$ .

6.(1)解集为 $\left\lbrack  {-3,0)\cup (1,4}\right\rbrack$ . (2)解集为 $\left( {-4, - 1}\right)  \cup  \left( {5,8}\right)$ . (3)解集为 $\left( {-\infty ,\frac{2}{3}}\right)  \cup  \left( {4, + \infty }\right)$ . (4) 解集为 $\left( {-1,0}\right)$ .

7. $a$ 的取值范围为 $\left\lbrack  {\frac{3}{2}, + \infty }\right)$ .

8. 提示: 考虑 $k = 0$ 和 $k > 0$ 两种情况. $k$ 的取值范围为 $\lbrack 0,1)$ .

#### 2.3 基本不等式及其应用

练习 ${2.3}\left( 1\right)$

1. 证明略.

2. 当且仅当 $x =  - 1$ 时等号成立,证明略.

练习 ${2.3}\left( 2\right)$

1. 当且仅当长与宽都等于 $\frac{l}{4}$ 时,矩形的面积最大.

2. 当且仅当内接矩形为正方形时, 面积取得最大值; 其最大值为 2, 此时边长为 $\sqrt{2}$ .

练习 ${2.3}\left( 3\right)$

1. 证明: $\left| {a + b}\right|  + \left| {a - b}\right|  = \left| {a + b}\right|  + \left| {b - a}\right|  \geq  \left| {\left( {a + b}\right)  + \left( {b - a}\right) }\right|  = 2\left| b\right|$ .

2. 证明: (1) $\left| {a + b}\right|  \leq  \left| a\right|  + \left| b\right|  < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ . (2) $\left| {a - b}\right|  \leq  \left| a\right|  + \left| {-b}\right|  < \frac{1}{2} \; + \frac{1}{2} = 1$ .

习题 2.3

A 组

1. D.

2. $b < \sqrt{ab} < \frac{a + b}{2} < a$ . 理由略.

3. 当且仅当 $a = b$ 时等号成立. 证明略.

4. 证明略.

5. 最大值为 4 .

6. 最大值为 ${25}{\mathrm{\;{cm}}}^{2}$ .

7. 证明: $\left| {a - b}\right|  = \left| {a - c + c - b}\right|  \leq  \left| {a - c}\right|  + \left| {c - b}\right|$ .

8. 提示: $\left| {x - 2}\right|  + \left| {{2x} - 3}\right|  = \left| {{3x} - 5}\right|  \Leftrightarrow  \left( {x - 2}\right) \left( {{2x} - 3}\right)  \geq  0$ ,解集为 $\left( {-\infty ,\frac{3}{2}}\right\rbrack \; \cup  \lbrack 2, + \infty )$ .

B 组

1. $a < {2ab} < \frac{1}{2} < {a}^{2} + {b}^{2} < b$ . 理由略.

2. 当 $a \neq  1$ 时, $\frac{{a}^{2} + {2a} + 1}{a} > 4$ ; 当 $a = 1$ 时, $\frac{{a}^{2} + {2a} + 1}{a} = 4$ .

3. 证明略.

4. 证明略.

5. 证明略.

6. 证明:

$$
d\left( {B, C}\right)  + d\left( {C, A}\right)  = \left| {{x}_{2} - {x}_{3}}\right|  + \left| {{y}_{2} - {y}_{3}}\right|  + \left| {{x}_{3} - {x}_{1}}\right|  + \left| {{y}_{3} - {y}_{1}}\right|
$$

$$
\geq  \left| {{x}_{2} - {x}_{3} + {x}_{3} - {x}_{1}}\right|  + \left| {{y}_{2} - {y}_{3} + {y}_{3} - {y}_{1}}\right|
$$

$$
= \left| {{x}_{2} - {x}_{1}}\right|  + \left| {{y}_{2} - {y}_{1}}\right|  = d\left( {A, B}\right) .
$$

7. 证明: $\left| {a + b + c}\right|  \leq  \left| {a + b}\right|  + \left| c\right|  \leq  \left| a\right|  + \left| b\right|  + \left| c\right|$ .

8. 证明: 原不等式等价于 $\left| {x - 1}\right|  \leq  \left| {x + 2}\right|  + 3$ . 注意到 $x - 1 = \left( {x + 2}\right)  + \left( {-3}\right)$ , 令 $a = x + 2, b =  - 3$ ,应用三角不等式 $\left| {a + b}\right|  \leq  \left| a\right|  + \left| b\right|$ ,原不等式即可得证. 等号当且仅当 $\left( {x + 2}\right) \left( {-3}\right)  \geq  0$ ,即 $x \leq   - 2$ 时成立.

### 复习题

A 组

1. (1) $\frac{5}{2}$ . (2) $- \frac{35}{4}$ .

2. $\frac{b + {2a}}{a + {2b}} < \frac{a}{b}$ .

3. 证明略.

4. $a =  - 2$ ,解集为 $\left( {-\infty ,\frac{5}{3}}\right)$ .

5. (1)解集为 $\left( {-\infty , - 3}\right)  \cup  \left( {5, + \infty }\right)$ . (2)解集为 $\left( {-\frac{2}{3},5}\right) .\;$ (3) 解集为 (4) 解集为 $\left\lbrack  {-4 - 2\sqrt{6}, - 4 + 2\sqrt{6}}\right\rbrack$ . (5) 解集为 $\{ 9\}$ .

(6) 解集为 $\mathbf{R}$ .

6. (1) ${x}^{2} - 2\sqrt{2}x + 2 > 0$ . (2) ${x}^{2} - {4x} + 1 \leq  0$ .

7. 正整数解为3,4,5.

8. (1)解集为 $\left( {-\infty , - 7}\right)  \cup  \left( {-\frac{22}{5}, + \infty }\right) .\;$ (2)解集为 $\left\lbrack  {1,2}\right\rbrack$ .

9. (1) $A \cap  B$ . (2) $\overline{A} \cap  B$ .

10. (1)解集为 $\left\lbrack  {\frac{1}{3},1}\right\rbrack$ .

11. 证明: $\sqrt{\left( {1 + a}\right) \left( {1 + b}\right) } \geq  1 + \sqrt{ab} \Leftrightarrow  \left( {1 + a}\right) \left( {1 + b}\right)  \geq  1 + 2\sqrt{ab} + {ab}$

$$
\Leftrightarrow  a + b \geq  2\sqrt{ab}
$$

$$
\Leftrightarrow  {\left( \sqrt{a} - \sqrt{b}\right) }^{2} \geq  0\text{. }
$$

12. (1) ${AD} = \sqrt{ab},{AE} = \frac{a + b}{2}$ . (2) $\sqrt{ab} \leq  \frac{a + b}{2}$ .

13. (1) $M\left( {\frac{a + b}{2},0}\right) ,\left| {MQ}\right|  = \left| \frac{a + b}{2}\right| ,\left| {MN}\right|  = \frac{\left| a\right|  + \left| b\right| }{2}$ .

(2) $\left| \frac{a + b}{2}\right|  \leq  \frac{\left| a\right|  + \left| b\right| }{2}$ .

B 组

1. $p =  - 1$ .

2. $m$ 的取值范围为 $( - 3, - 1\rbrack$ .

3. 解集为 $\left( {-\infty , - 1}\right)$ .

4. (1)解集为 $\left( {-\infty , - \frac{3}{4}}\right)  \cup  \left\lbrack  {-\frac{1}{3}, + \infty }\right)$ . (2)解集为 $\left\lbrack  {-4, - 3)\cup (1,2}\right\rbrack$ .

5. $a$ 的取值范围为 $\left\lbrack  {0,1}\right\rbrack$ .

6. 证明略.

7. 最小值为 2 .

8. 证明: $\frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c} = \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{c}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{c}$

$$
\geq  2\sqrt{\frac{b}{a} \cdot  \frac{a}{b}} + 2\sqrt{\frac{c}{a} \cdot  \frac{a}{c}} + 2\sqrt{\frac{c}{b} \cdot  \frac{b}{c}} = 6.
$$

9. 不妨设 $x, y$ 同号. 由 $1 = \left| {x + y}\right|$ ,得 $1 = \left| x\right|  + \left| y\right| ,{xy} = \left| {xy}\right|  \leq \; {\left( \frac{\left| x\right|  + \left| y\right| }{2}\right) }^{2} = \frac{1}{4}$ ,当且仅当 $\left| x\right|  = \left| y\right|$ ,即 $x = y =  \pm  \frac{1}{2}$ 时,等号成立. 所以, ${xy}$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ .

10. 证明: 由 $\left| a\right|  \leq  \left| \frac{a + b}{2}\right|  + \left| \frac{a - b}{2}\right| ,\left| b\right|  \leq  \left| \frac{b + a}{2}\right|  + \left| \frac{b - a}{2}\right|$ ,可得 $\left| a\right|  + \left| b\right|  \leq \; \left| {a + b}\right|  + \left| {a - b}\right|$ ,当且仅当 $\left( {a + b}\right) \left( {a - b}\right)  \geq  0$ 并且 $\left( {a + b}\right) \left( {b - a}\right)  \geq  0$ ,即 $\left| a\right|  = \left| b\right|$ 时, 等号成立.

另证:

(1) ${ab} \geq  0$ 时, $\left| a\right|  + \left| b\right|  = \left| {a + b}\right|  \leq  \left| {a + b}\right|  + \left| {a - b}\right|$ .

(2) ${ab} < 0$ 时, $\left| a\right|  + \left| b\right|  = \left| {a - b}\right|  \leq  \left| {a + b}\right|  + \left| {a - b}\right|$ .

当且仅当 $a = b$ 或 $a =  - b$ 时,等号成立.

11. 证明:

(1) ${a}^{2} + {ab} + {b}^{2} = {\left( a + \frac{1}{2}b\right) }^{2} + \frac{3}{4}{b}^{2} \geq  0$ ,当且仅当 $\left\{  \begin{array}{l} a + \frac{1}{2}b = 0, \\  b = 0, \end{array}\right.$ 即 $a = b = 0$ 时, 等式成立.

(2) ${a}^{3} - {b}^{3} = \left( {a - b}\right) \left( {{a}^{2} + {ab} + {b}^{2}}\right)$ .

因为 $a > b$ ,所以 $a - b > 0$ ; 并且 ${a}^{2} + {ab} + {b}^{2} > 0$ ,所以 ${a}^{3} > {b}^{3}$ .

### 拓展与思考

1. (1)解集为 $\left( {-\infty ,3}\right)  \cup  (3,4\rbrack  \cup  \lbrack 5, + \infty )$ . (2)解集为 $\left( {-\infty ,\frac{2}{3}}\right\rbrack   \cup  \lbrack 4, + \infty )$ . 提示: 本题旨在强化等价变形, 并且两小题都有两种解法. (1) 既可以先移项, 化为分式 $\leq  0$ 的形式,也可以两边同乘分母,化为一元二次不等式,但需要注意分母为零的情形. (2)既可以采用按零点分段, 讨论符号的方式去除两边的绝对值符号再求解, 也可以采用两边平方的方式去掉绝对值符号来求解.

2. $p =  - 1, q =  - 6$ . 提示: 本题旨在根据解集的性质反过来确定参数的取值,是不等式求解的逆向问题.

3. 证明: 由于 $0 < a < b$ ,可得 $\sqrt{ab} < \frac{a + b}{2}$ ;

$\frac{2ab}{a + b} < \sqrt{ab} \Leftrightarrow  2\sqrt{ab} < a + b \Leftrightarrow  \sqrt{ab} < \frac{a + b}{2}; \; \frac{a + b}{2} < \sqrt{\frac{{a}^{2} + {b}^{2}}{2}} \Leftrightarrow  {\left( \frac{a + b}{2}\right) }^{2} < \frac{{a}^{2} + {b}^{2}}{2} \Leftrightarrow  {\left( a + b\right) }^{2} < 2\left( {{a}^{2} + {b}^{2}}\right)  \Leftrightarrow  {\left( a - b\right) }^{2} > 0;$ 因为 $\sqrt{\frac{{a}^{2} + {b}^{2}}{2}} < \sqrt{\frac{{b}^{2} + {b}^{2}}{2}} = b$ ,

所以 $a < \frac{2ab}{a + b} < \sqrt{ab} < \frac{a + b}{2} < \sqrt{\frac{{a}^{2} + {b}^{2}}{2}} < b$ .

提示: 本题给出了正数四种平均值之间的大小关系 (调和平均值 $\leq$ 几何平均值 $\leq$ 算术平均值 $\leq$ 平方平均值),旨在加深对平均值的认识.

4. 不等式 $\left( {x - 1}\right) \left( {x - 2}\right) \left( {x - 3}\right)  > 0$ 的解集为 $\left( {1,2}\right)  \cup  \left( {3, + \infty }\right)$ .

不等式 $\left( {x - 1}\right) \left( {x - 2}\right) \left( {x - 3}\right)  < 0$ 的解集为 $\left( {-\infty ,1}\right)  \cup  \left( {2,3}\right)$ .

更为一般地,首先求解不等式 $\left( {x - {x}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{2}}\right) \left( {x - {x}_{3}}\right)  > 0$ ,需按如下情形讨论:

(1) ${x}_{1} < {x}_{2} < {x}_{3}$ 时,解集为 $\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right)  \cup  \left( {{x}_{3}, + \infty }\right)$ ；

(2) ${x}_{1} < {x}_{2} = {x}_{3}$ 时,原不等式化为 $\left( {x - {x}_{1}}\right) {\left( x - {x}_{2}\right) }^{2} > 0$ ,解集为 $\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right)  \cup \; \left( {{x}_{2}, + \infty }\right)$ ;

(3) ${x}_{1} = {x}_{2} < {x}_{3}$ ,原不等式化为 ${\left( x - {x}_{1}\right) }^{2}\left( {x - {x}_{3}}\right)  > 0$ ,解集为 $\left( {{x}_{3}, + \infty }\right)$ ；

(4) ${x}_{1} = {x}_{2} = {x}_{3}$ 时,原不等式化为 ${\left( x - {x}_{1}\right) }^{3} > 0$ ,解集为 $\left( {{x}_{1}, + \infty }\right)$ .

其次,求解不等式 $\left( {x - {x}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{2}}\right) \left( {x - {x}_{3}}\right)  < 0$ ,需分如下情形讨论:

(1) ${x}_{1} < {x}_{2} < {x}_{3}$ 时,解集为 $\left( {-\infty ,{x}_{1}}\right)  \cup  \left( {{x}_{2},{x}_{3}}\right)$ ；

(2) ${x}_{1} < {x}_{2} = {x}_{3}$ 时,原不等式化为 $\left( {x - {x}_{1}}\right) {\left( x - {x}_{2}\right) }^{2} < 0$ ,解集为 $\left( {-\infty ,{x}_{1}}\right)$ ；

(3) ${x}_{1} = {x}_{2} < {x}_{3}$ 时,原不等式化为 ${\left( x - {x}_{1}\right) }^{2}\left( {x - {x}_{3}}\right)  < 0$ ,解集为 $\left( {-\infty ,{x}_{1}}\right)  \cup \; \left( {{x}_{1},{x}_{3}}\right)$ ;

(4) ${x}_{1} = {x}_{2} = {x}_{3}$ 时,原不等式化为 ${\left( x - {x}_{1}\right) }^{3} < 0$ ,解集为 $\left( {-\infty ,{x}_{1}}\right)$ .

提示: 本题旨在引导学生了解如何利用分段讨论表达式符号的方式来求解三次不等式, 此外, 在分类讨论时还需注意有重根的情形. 用数轴标根法直接得出不等式解集的做法, 可在第五章中再加以补充.

#### 四、相关阅读材料

### 参考文献

[1] 史济怀. 平均[M]. 北京:科学出版社,2002.